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フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

フィボナッチ数列の一般項

(1) 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 \[\< F_n\>:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ. (2) 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_ = L_n+L_$ で定まる数列 \[\< L_n\>:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

ビネの公式

定理《ビネの公式》

ビネの公式の応用

定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》

定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》

定理《偶数番目のリュカ数》

ビネの公式により, \[\begin フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ L_ &= \varphi ^+\tilde\varphi ^ = (\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)^2-2(\varphi\tilde\varphi )^n \\ &= L_n<>^2-2(-1)^n = L_n<>^2+2(-1)フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ ^ \end\] が成り立つ.

高校数学の問題

問題《リュカ数を表す対称式の値》

$\alpha = \dfrac,フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $ $\beta = \dfrac$ について, \[\alpha +\beta, フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.

問題《フィボナッチ数列の一般項と和》

$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく. また, 同様の方法で $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく. (1) $F_ = F_n+F_$ が成り立つことを示せ. (2) 数列 $\< F_-\alpha F_n\>,$ $\< F_-\beta F_n\>$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $ $\beta\ (\alpha > \beta )$ を $1$ 組求めよ. (3) 数列 $\< F_n\>$ の一般項を求めよ. (4) 数列 $\< S_n\>$ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ の一般項を求めよ.

関数と極限

問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》

$F_1 = F_2 = 1,$ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は \[ F_n = \frac\left\<\left(\frac<1+\sqrt 5>\right) ^n-\left(\frac\right) ^n\right\>\] であることが知られている(証明はこちらを参照). この数列について, 隣り合う項の比の極限 $\lim\limits_\dfrac$ を求めよ.

神秘「フィボナッチ数列」とは?|ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説

仲の良さそうなうさぎのつがい

仲の良さそうなうさぎのつがい / credit:Unsplash

1202年の著作『計算の書』には、「ウサギのつがいの問題」と呼ばれている有名な問題が掲載されています。実は、この本の著者であるレオナルド・ピサノは、現在では「フィボナッチ」の名で知られている数学者です。

それでは0ヶ月後~4ヶ月後について、一つずつ具体的に考えてみましょう。

0ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギしかいません。そのため、合計1つがいです。

1ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後1ヶ月となります。まだ、子どもを産まないので、合計1つがいです。

2ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。したがって、2ヶ月後にいるウサギのつがいは、

合計2つがいです。

3ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後3ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

合計3つがいです。

4ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後4ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

合計5つがいです。

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

以上を合計すると、2+3+3つがい、つまり、5ヶ月後は合計8つがいとなるのです。

表:うさぎのつがい問題5ヶ月

表:うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $

4 フィボナッチ数列の極限

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 著

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_\dfrac>=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

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フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

コンセプト

ご主人の主張

奥様の主張

採用情報

会社情報

NEO

LUXIA

DREAM

ORGANIC HOUSE

リフォーム

「1, 1, 2, 3, フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 5, 8, 13, 21…」この数列をご存知でしょうか?

ひまわり

●黄金比との関係

数列は「1,1」から始まり、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. と続いていきます。

黄金比(人が美しいと感じる比率)の式は" 1 : 1.618。フィボナッチ数列を比率で表していくと

2 : 3 = 1 : 1.5、3 : 5 ≒ 1 : 1.666666、5 : 8 = 1 : 1.6、8 : 13 = 1 : 1.625、13 : 21 = 1 : 1.フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 61538

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

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