バイナリーオプション教材

フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
y’+x^3=0 ちなみに答えは3x^2+4(y+1)^3=c" />

フィボナッチ数列の一般項の求め方を教えてください

フィボナッチ数列を漸化式で表せば, aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ,a₀=a₁=1・・・① 今関数F(x)を以下のように定義する. F(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ・・・ ・・・② これを数学では生成関数(Generating Function)と言います. xF(x)=a₀x + a₁x² + a₂x³ + a₃x⁴ + フィボナッチ数列の一般項 ・・・ x²F(x)=a₀x² + a₁x³ + a₂x⁴ + a₃x⁵ + ・・・ となりますね. F(x)-xF(x)-x²F(x) フィボナッチ数列の一般項 =a₀ + (a₁-a₀)x + (a₂-a₁-a₀)x² + (a₃-a₂-a₁)x³ + (a₄-a₃-a₂)x⁴ + ・・・ なぜこんなことをしたかというと,①の漸化式から・・・ a₀=a₁=1なのでa₁-a₀=0 a₂-a₁-a₀=a₃-a₂-a₁=a₄-a₃-a₂=・・・=0 フィボナッチ数列の一般項 となってしまうのです. ってことは, F(x)-xF(x)-x²F(x)=1 フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 F(x)=1/(1-x-x²)・・・③ となります.これを因数分解すると・・・ F(x)=1/<(1-(-2)x/(1-√5))(1-(-2)x/(1+√5))>・・・④ フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 これをさらに変形すると・・・ F(x)=[1/]+[1/] ここで無限級数の和を考えてもらうと分かると思いますが・・・ 最初の[]内は Σ[n=0→∞](-2/(1-√5))^n 次の[]内は Σ[n=0→∞](-2/(1+√5))^n これを出したいがために不可思議な変形をしました. ですから, F(x)=Σ[n=0→∞](-2/(1-√5))^n+Σ[n=0→∞](-2/(1+√5))^n =Σ[n=0→∞][(-2/(1-√5))^n+(-2/(1+√5))^n] これが,②と等しくならなければなりません.ってことは・・・ aₙ=(-2/(1-√5))フィボナッチ数列の一般項 ^n+(-2/(1+√5))^n 後は係数を整理すれば・・・ aₙ=[ⁿ - ⁿ]/√5 となります. 他にもやり方はあると思いますが,この方法が一番意味を理解しやすいと思います.でも意味は理解しやすいが,式変形が複雑です.方法によって一長一短あるのです・・・

最初の[]内は・・・以降xを書き忘れました・・・2の後ろにxあり

その他の回答(1件)

a[n]=a[n-1]+a[n-2] …①です. (a[n]-ca[n-1])=b(a[n-1]-ca[n-2]) …②が成り立つとすると, c+b=1, bc=-1 のとき, 漸化式①が得られます. 解と係数の関係から b, c が x^2-x-1=0の解で, これを解いて, b=(1+√5)/2, c=(1-√5)/2とすればよいことがわかります(b,c は入れ替えても構いません). このb,c に対して, 漸化式 ②を解きます. まず a[n]-c a[n-1] は公比 bの等比数列なので, a[n]-ca[n-1]=b^(a[1]-ca[0]) です. そこで, c^i(a[n-i]-ca[n-i-1])=c^ib^(a[1]-ca[0]) (i=0,1,2,…,n-1 ) を考え, これらを全部足すと, a[n]-c^na[0] =(b^+cb^+…c^b+c^)(a[1]-ca[0]) となって, a[n]-c^na[0]=(b^n-c^n)/(b-c)(a[1]-ca[0]) が得られます. ここからは少しややこしいですが, bc=-1 に注意すると, a[n] =(b^n-c^n)/(b-c)(a[1]-ca[0])+c^n a[0] =(b^n-c^n)/(b-c)a[1]-((b^n-c^n)/(b-c)-c^)ca[0] =(b^n-c^n)/(b-c)a[1]-(b^-c^)bc/(b-c) a[0] =(フィボナッチ数列の一般項 b^n-c^n)/(b-c)a[1]+(b^-c^)/(b-c) a[0] となります. (定数 (b^n-c^n)/(b-c)は b,c を入れ替えても変わりません). フィボナッチの場合, a[1]=a[2]=1 ですが, a[0]=0 と考えることができるので, 一般項は a[n]=(b^n-c^n)/(b-c) となることがわかります. (b=(1+√5)/2, c=(1-√5)/2です).

あわせて知りたい

フィボナッチ数列の一般項の求め方はしっておくべきですか?

フィボナッチ数列の一般項の求め方はしっておくべきですか?

TNT火薬1キロ分でどのくらいの威力ですか?ざっくりしたもので構わないので教えてください。

TNT火薬1キロ分でどのくらいの威力ですか?ざっくりしたもので構わないので教えてください。

大江山の口語訳をお願いします。 和泉式部、保昌が妻(め)にて丹後に下りけるほどに、京に歌合ありけるに、 小式部内侍、歌よみにとられてよみけるを、定頼の中納言、たはぶれに小式部内侍に、 「丹後へつかはしける人は参りにたりや。」と言ひ入れて、局の前を過ぎられけるを、 小式部内侍、御簾よりなかば出でて、直衣(なほし)の袖をひかへて、 大江山いくのの道の遠ければ まだふみもみず天橋.

大江山の口語訳をお願いします。 和泉式部、保昌が妻(め)にて丹後に下りけるほどに、京に歌合ありけるに、 小式部内侍、歌よみにとられてよみけるを、定頼の中納言、たはぶれに小式部内侍に、 「丹後へつかはしける人は参りにたりや。」と言ひ入れて、局の前を過ぎられけるを、 小式部内侍、御簾よりなかば出でて、直衣(なほし)の袖をひかへて、 大江山いくのの道の遠ければ まだふみもみず天橋.

体力がMAXの100%の時に、 150%の割合攻撃を受けます 攻撃後の体力が50%以上にしたいのですが、 最低何%カットの盾をそうびすれば50%以上を維持できるでしょうか? 盾は、15%カット、20%カット、25%カット、 30%カット、35%カット、40%カット、50%カット 60%カット、75%カット、80%カット の種類があります

体力がMAXの100%の時に、 150%の割合攻撃を受けます 攻撃後の体力が50%以上にしたいのですが、 最低何%カットの盾をそうびすれば50%以上を維持できるでしょうか? 盾は、15%カット、20%カット、25%カット、 30%カット、35%カット、40%カット、50%カット 60%カット、75%カット、80%カット の種類があります

sin^2θ/cosθの積分の解き方を教えて下さい!

sin^2θ/cosθの積分の解き方を教えて下さい!

1から10までの数字が書かれた10枚の札から3枚を選ぶ試行を考える。 次のように3枚の札を選ぶ時、最大の数が8となる確率を求めよ。 ①1枚目を選び、もとに戻さず2枚目を選び、もとに戻さず3枚目を選ぶ ②1枚目を選び、もとに戻して2枚目を選び、もとに戻して3枚目を選ぶ 立式からお願い致します!

1から10までの数字が書かれた10枚の札から3枚を選ぶ試行を考える。 次のように3枚の札を選ぶ時、最大の数が8となる確率を求めよ。 ①1枚目を選び、もとに戻さず2枚目を選び、もとに戻さず3枚目を選ぶ ②1枚目を選び、もとに戻して2枚目を選び、もとに戻して3枚目を選ぶ 立式からお願い致します!

この問題の解き方を教えてください。 ある電話会社の料金プランを比較した。A プランはひと月の基本料金が 600 円,通話料金は 1 分あたり 40 円で,105 分以上では定額 4800 円である。B プランはひと 月の基本料金が 0 円で,通話料金は 1 分あたり 60 円で,60 分以上では定額 3600 円 である。A プランが B プランと同額または B プランより安価になるのは通話時間が 何分から何分の間かを求めよ。

この問題の解き方を教えてください。 ある電話会社の料金プランを比較した。A プランはひと月の基本料金が 600 円,通話料金は 1 分あたり 40 円で,105 分以上では定額 4800 円である。B プランはひと 月の基本料金が 0 円で,通話料金は 1 分あたり 60 円で,60 分以上では定額 3600 円 である。A プランが B プランと同額または B プランより安価になるのは通話時間が 何分から何分の間かを求めよ。

解き方は分かるんですけど何でQ(x)の値が見えないしちゃんとわからないのに割る数が0になるようなxの値を入れると割られる数の余りが出てくるのかわかりません。どういう仕組みでこうなってるんですか?

③はどうやって③の結果になったのですか?教えていただきたいです。

次の問題を計算過程も含めて教えてください

行列の問題ですが、計算を簡潔に行うやり方はあるのでしょうか。 A=|2,1| |1,4| という行列に対して A^4−5A^3+10A^2+7A+3Eを求めたいです。 固有多項式を使うと楽に求められるらしいですが、過程がよく分かりません。それとも地道に計算するしかないでしょうか。 どなたかご教授頂けないでしょうか。 線形代数はまだ勉強したばかりなので、お手柔らかにお願いいたします。

行列の問題ですが、計算を簡潔に行うやり方はあるのでしょうか。 A=|2,1| |1,4| という行列に対して A^4−5A^3+10A^2+7A+3Eを求めたいです。 固有多項式を使うと楽に求められるらしいですが、過程がよく分かりません。それとも地道に計算するしかないでしょうか。 どなたかご教授頂けないでしょうか。 線形代数はまだ勉強したばかりなので、お手柔らかにお願いいたします。

これの(3)の問題について 2の10乗−2以外の別解があれば 教えて下さい

阪大理系志望高3です。数学は1対1や数学重要問題集で十分ですか?プラチカとかもやった方がいいですか?

阪大理系志望高3です。数学は1対1や数学重要問題集で十分ですか?プラチカとかもやった方がいいですか?

至急お願いします!! 数学の問題です! P町からQ町へ行くには5本の道があり、Q町からR町へ行くには4本の道がある。P町からQ町を通ってR町へ行く時、行き方は何通りありますか。 宜しくお願いします(><)

至急お願いします!! 数学の問題です! P町からQ町へ行くには5本の道があり、Q町からR町へ行くには4本の道がある。P町からQ町を通ってR町へ行く時、行き方は何通りありますか。 宜しくお願いします(><)

高校数学の問題です。旧課程組みなのに確率と統計出されてしまいました。 この問題、お願いします!

大学の微分方程式の問題です。 次の変数分離形微分方程式を解け。 <(y+1)^2></p>
<p>y’+x^3=0 ちなみに答えは3x^2+4(フィボナッチ数列の一般項 y+1)^3=c

大学の微分方程式の問題です。 次の変数分離形微分方程式を解け。 y’+x^3=0 ちなみに答えは3x^2+4(y+1)^3=c

この問題の解説をお願いしたいです

線形数学のこの問題の解き方をわかりやすく教えてください。 (1)は私なりに考えたのですが、V3=V1+2×V2で求められるので基底ではないと思ったのですが、どちらともいえないという選択肢があるのでよくわからなくなりました、、

この問題を解いてください 解き方だけでも構いません できれば回答も欲しいです お願いします

a></p>
<p>0について√aの定義を言葉で教えてください!

どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $

4 フィボナッチ数列の極限

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 著

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_\dfrac>=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

Related posts:

究進塾 編集局 東京・池袋にある究進塾の編集局です。受験指導のプロが大学受験に役立つ情報をお届けしています。 大学受験対策コースはこちらからご覧いただけます。

フィボナッチ数列の一般項

(1) 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 \[\< F_n\>:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 Fibonacci number)と呼ぶ. (2) 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_ = L_n+L_$ で定まる数列 \[\< L_n\>:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

ビネの公式

定理《ビネの公式》

ビネの公式の応用

定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》

定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》

定理《偶数番目のリュカ数》

ビネの公式により, \[\begin L_ &= \varphi ^+\tilde\varphi ^ = (\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)^2-2(\varphi\tilde\varphi )^n \\ &= L_n<>^2-2(-1)^n = L_n<>^2+2(-1)^ \end\] が成り立つ.

高校数学の問題

問題《リュカ数を表す対称式の値》

$\alpha = \dfrac,$ $\beta = \dfrac$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.

問題《フィボナッチ数列の一般項と和》

$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を フィボナッチ数列の一般項 $F_n$ とおく. また, 同様の方法で $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく. (1) $F_ = F_n+F_$ が成り立つことを示せ. (2) 数列 $\< F_-\alpha F_n\>,$ $\< F_-\beta F_n\>$ がそれぞれ公比 フィボナッチ数列の一般項 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > フィボナッチ数列の一般項 \beta )$ を $1$ 組求めよ. (3) 数列 $\< F_n\>$ の一般項を求めよ. (4) 数列 $\< S_n\>$ の一般項を求めよ.

関数と極限

問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》

$F_1 = F_2 = 1,フィボナッチ数列の一般項 $ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は \[ F_n = \frac\left\<\left(\frac<1+\sqrt 5>\right) ^n-\left(\frac\right) ^n\right\>\] であることが知られている(証明はこちらを参照). この数列について, 隣り合う項の比の極限 $\lim\limits_\dfrac$ を求めよ.

フィボナッチ数列

例えば「3, 6, 12, 24, 48. 」の数列で考えていきましょう。初項は3、公比は2です。
一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので
$a_ = 3 \times 2^$ となります。
$n=2$ の時、$3 \times 2^=3 \times 2 = 6$
$n=3$ の時、$3 \times 2^=3 フィボナッチ数列の一般項 \times 4 = 12$
$n=4$ の時、$3 \times 2^=3 \times 8 = 24$
これを一般化すると、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列における一般項は
$a_ = a \times r^$ となります。

フィボナッチ数の等比数列

等比数列の一般項は、$a_ = ar^$ ですから、次項は $a_ = ar^$、次の次項 $a_ = ar^$ です。

これを二次方程式に変形すると
$r^-r-1 = 0$

二次方程式の解の公式に当てはめる

ただ、これだけだと先頭の $1$ と フィボナッチ数列の一般項 $1$ が満たせないので、もう一工夫必要です。
解の公式により解が2つ求まったので、$α$ と $β$ にして、$α-β$ とすると $\sqrt$ がそれぞれに付きます。あとは、$\sqrt$ で割ればフィボナッチ数列が求まります。
詳しく下記を参照してください。

Fibonacci.png

普通に実装

※ np.sqrt を使わないでPythonの基本機能で実現する場合、5**0.5 で平方根の演算ができます。

100 番目の本当のフィボナッチ数は $354224848179261915075$ フィボナッチ数列の一般項 です。
残念ながら値が違ってしまいますね。
$354224848179263111168$
$354224848179261915075$

たかが 100 番目くらいで正しい答えを得られないようでは"なってない"といわざるを得ないではない。

計算方法を変える

計算方針を考える
落ち着こう。確かに無理数は避けて通れない。しかし、我々は無理数どころか、"もっとスゴい"数を扱ったことがあるはずだ。そう、二乗すると -1 になっちゃう愛に溢れた"アレ"を含む数、複素数である。
複素数をどう扱ったか思い出そう。次のように表現したはずだ。
$a+bi$
虚数単位 $i$ はもはや無理数ですらない。それでも我々は扱ってきた。ならばたかが $\sqrt$ 程度が扱えないわけがない。
というわけで、複素数の i を $\sqrt$ に置き換えた形で今回の式を取り扱うことにしよう。
フィボナッチ数列の一般項を計算する(フィボナッチ数列の一般項 ※ただし有理数に限る)

Haskellでは標準で Rational という有理数を扱う型があるが、Pythonでは標準 fractions を使うと分数(有理数)での計算ができる。

FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に $\sqrt$ が付かない項を、右に $\sqrt$ が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 と書けば $1+\sqrt$ のこと。(0, 1) と書けば $\sqrt$ のこと。(1 % 2, 1 % 3) と書けば $\frac+\frac\sqrt$ のことを表す。(中略)
除算は 0 で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。
まず、(1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに フィボナッチ数列の一般項 $\frac<1+\sqrt>$ のことだが、こんなものは $\frac+\frac\sqrt$、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。
後ろ側の $\sqrt$ で割る処理は、逆数であるところの $\frac<\sqrt>$ 、つまり $\frac<\sqrt>$ を掛ければ良い。$\frac<\sqrt>$ ってことは $0+\frac\sqrt$ だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

フィボナッチ数列の一般項

式(1)に関しては、$\boldsymbol-\alpha F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\beta$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \beta \end $$となります。
つまり数列 $\-\alpha F_n\>$ は初項も公比も $\beta$ だったというわけですね。よって、
$$ F_-\alpha F_n = \beta ^n \tag $$となります。

同様に、式(2)についても見ていきましょう。こちらも $\boldsymbol-\beta F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\alpha$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\beta F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& フィボナッチ数列の一般項 \frac>\\
&=& \alpha \end $$となります。
つまり数列 $\-\beta F_n\>$ の方は初項も公比も $\alpha$ だったとわかります。よって、
$$ F_-\beta F_n = \alpha ^n \tag $$となります。

最初の2項が「1, 1」でない場合

ここまでは、フィボナッチ数列の最初の2項を「1, 1」とする最も一般的な場合のことを考えてきました。
では、最初の2項が「1, 1」ではない場合、どのような一般項になるのしょうか。

前の2項を足すと次の項」というルールは変えません。

漸化式の特性方程式の2解
$$\alpha=\frac> , \ \beta=\frac>$$を用いて漸化式を変形すると、
$$ \begin F_-\alpha F_ &=& \beta (F_-\alpha F_n) フィボナッチ数列の一般項 \tag \\ F_-\beta F_ &=& \alpha (F_-\beta F_n) \tag \end $$となる所までは先ほどと同じです。
ここから最初の2項を変えた影響が出てきます。

式(6)の数列 $\-\alpha F_n\>$ は公比 $\beta$ の等比数列です。
初項は、
$$ F_2-\alpha F_1=b-\alpha a $$となります。よって、
$$ F_-\alpha F_n = ( b-\alpha a )\beta^ \tag $$となることがわかります。
同様に、式(7)からは
$$ F_-\beta F_n = ( b-\beta a )フィボナッチ数列の一般項 \alpha^ \tag $$という関係が得られます。
式(9)-式(8)を計算すると
$$(\alpha-\beta)F_n=( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^$$となります。
この両辺を $\alpha-\beta$ で除すと、
$$ \begin F_n &=& \frac< ( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^ > < \alpha-\beta >\\
&=& \frac> \left\< \left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^-\left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^ \right\> \end $$となり、これが求める一般項です。

関連記事

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次
閉じる